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亚瑟·本杰明:不可思议的数学魔术

上周我们为大家介绍过亚瑟·本杰明(Arthur Benjamin)一个简短的关于数学教育观的演讲,他那极富表演色彩的演讲的确颠覆人们对数学教育的改观。而这次本杰明以“数学魔术师”身份站在TED舞台上的演讲——与其说是演讲,不如称之为表演——没有人们印象中对数学家严谨刻板的感觉,舞台上的他更像是一名张扬的表演艺术家,他带给观众的是一场奇妙的数字探险之旅。

开始之前我们不妨想象一下,如何把数学和魔术结合起来,会产生什么样的结果?喔,它当然不会把我们钱夹里的钞票从1变成100,可是只要我们与本杰明一起开动一下大脑,说不定魔力随之而来。

好吧我们从一些智力热身赛开始。

Arthur Benjamin does “Mathemagic”该视频已有简体中文翻译

人脑VS计算器

本杰明首先邀请4明携带计算器的观众上台,由台下观众出题,演讲人与台上观众分别通过心算和机算来解答。从两位数字的平方到四位数字的平方,本杰明出色的心算能力使他的运算结果与机算结果并无二异。准确的说,他的结果出来得比操作计算器的更快些。

人脑VS万年历

如果那么一长串的数字令人生畏和不耐烦的话,接下来本杰明和观众的猜星期、和主持人chris的双簧竞猜表演也同样精彩:由观众报出各自出生日期,由本杰明猜算那天是星期几。“是不是星期一?”“是的”。“是不是星期三?”“是的”。台上这位魔术师的魔力开始生效,人们似乎并不怀疑他的准确性,就像是面对的是一名伟大的预言家,从他嘴里说出来的每一则预言都应验无误,观众只需要静心期待他变换出叹为观止的花样。

脑力VS魔力

此时所有的观众都急于弄明白本杰明那颗不亚于电子芯片计算能力的大脑是如何运作的,让我们再次回归到数学上来吧,演讲的最后,本杰明以挑战计算五位数字的平方做为收场。为了收场的完美,他把整个心算过程大声地念了出来,在没有计算器的帮助下。如果说这最后的挑战是一场穿越数学的克里特迷宫,本杰明凭借他那不亚于计算器处理速度更快的运算能力,成功地走出迷宫,并最终征服所有观众。

“术业有专攻”的赞许献给本杰明超群的运算和精彩的表演能力,对于所有人来说,我们无法保证我们每一场挑战都获得成功,就像本杰明最后也无法预测他的运算结果是否百分百正确一样,但是没有人能估量自己的蕴藏的能力究竟有多大,所以我们通过大量的不断挑战和不断锻炼,逐渐淘汰导致我们失败的因素,一步步缩小与成功之间的距离。谁敢说下一次魔术师的角色不会轮到自己扮演呢?

韦晶晶Thursday@TEDtoChina专栏组稿人

晶晶是一名大四在读生,也是一个不安分的年轻人。她喜欢四处游历,喜欢亲近自然,笃信“旅行即生活”,习惯用文字记录生活点滴。希望越来越多人认识并加入到TEDtoChina,在这里人人都可以“一起分享,共同进步”。她此前是TEDtoChina的自由撰稿人,并参与了TEDIndia的专题报道。

联络方式:Thursday at TEDtoChina dot buy essays cheap com

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亚瑟·本杰明:数学教育的改观
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亚瑟·本杰明: 数学教育的改观

假设我们随便向一名在校大学生提问:微积分和统计,哪样学习起来困难一些?十有八九的人会皱着眉头苦哈哈地回答是微积分。诚然,微积分本属于高等数学的一部分,其计算过程涉及到一大堆复杂的公式和纷繁的推算,对脑力和耐性的考验自然不言而喻。更重要的是,这样是一门令人苦不堪言的学科,我们在日常生活中却不常用到。那么,学习这玩意儿究竟有什么用呢?

实际上,数学魔术家亚瑟·本杰明(Arthur Benjamin)也提出了一个与以往教育迥然不同的观点:如果把数学课程比喻成是一座金字塔,那么它的顶端应该是统计学而绝非微积分。也许有人会质疑,金字塔的顶点怎么会是无聊的统计呢?拿概率来说吧,一件事情,如果它发生那么概率就是1,如果未发生则概率为0。但它是1还是0,得取决于随机性。就像投掷一枚硬币,不是正面就是反面嘛,难道还会有第三种情况发生?不,当然不会。


TED.com:Arthur Benjamin’s formula for changing math education该视频已有简体中文翻译

面对上面的质疑,亚瑟·本杰明提出两点有力的证据:
第一,从学以致用的角度出发,在日常生活中,我们大量运用到的,一定是概率和统计而绝非微积分,对吧?
第二,时代在变,知识的内容和形式也在发生变化。而概率和统计与时俱进的变化,才是适应潮流,不会被人们唾弃的吧!概率和统计是对数据的挖掘和研究,有了这些研究才方便我们分析趋势,预测未来。亚瑟·本杰明如是说。

无论是微积分还是统计,它们都不过是数学世界里延伸出的不同分支罢了,而数学又是其他学科的基础。所以对于每一个人来说,无论是微积分还是统计,学好它们都是无可厚非的事情。如果还是觉得学习很枯燥无趣,不妨一起来参考吉尔伯特·海厄特(Gilbert Highet)在《学习的乐趣(The Pleasure of Learning)》中提到的

学习是一种天生的乐趣,它与生俱来、属于人的本能,是人最基本的快乐之一。那么多人之所以麻木迟钝、对任何东西都不抱好奇心是因为,他们接受了糟糕的教育、处在孤陋寡闻的状态、向一成不变的日常生活妥协了,也许还为劳役和贫穷所困,或在金钱的毒害下耽于声色,因此变得既麻木又迟钝。然而,只要有适当的机会、坚定的决心和明确的方向,作为人之本性的学习的乐趣完全可以保持下来,而不管生活富足与否。

试想一下当伟大的阿基米德从观察自己身体在浴缸中排水的现象中悟出比重原理后,他兴奋地跳出浴缸,高喊“我发现了,我发现了!”那种发自本能的欣喜若狂的情形吧!

再谈到概率与生活的结合的例子:既然概率起源于赌场,那我们就不能不提到上世纪90年代横扫美国各赌场的华裔“赌圣”马恺文(Jeffrey Ma)。来自麻省理工学院的马凯文凭着一颗如“英特尔芯片”一般神准的算牌能力在赌场疯狂获利,随后好莱坞还根据此事拍摄了影片《21》。赌圣也好,《21》也好,无不依靠数学理论在背后支撑。或许我们根本觉察不到数学在生活中的“显性”作用,但是这门学科的知识与实际生活却是如此紧密联系:从超市小票里的数据挖掘;企事业单位成本、开支预算;收益模拟;某种病例普查;一项市场投资…甚至是你家楼下购买的体育福利彩票。

可见数学并不是一门与生活分割的孤独学习,实际上,好学者永远有主题可攻,学习的乐趣名副其实(No learner has ever run short of subjects to explore,the pleasures of learning are indeed pleasures)。人有能力达到功成圆满,当然,这还得取决于自身努力。

韦晶晶Thursday@TEDtoChina专栏组稿人

晶晶是一名大四在读生,也是一个不安分的年轻人。她喜欢四处游历,喜欢亲近自然,笃信“旅行即生活”,习惯用文字记录生活点滴。希望越来越多人认识并加入到TEDtoChina,在这里人人都可以“一起分享,共同进步”。她此前是TEDtoChina的自由撰稿人,并参与了TEDIndia的专题报道。

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亚瑟·本杰明表演“数学魔术”
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[TED故事] 上帝是个数学家

每一个TED演讲在观者的眼中只是一个孤独的文本,唯有置于更广义的社会背景中,我们才能明白在这短短十八分钟的讲述背后所经历的挣扎、迷茫、坚定、梦想与奋斗。我们的团队新成员余恺将为大家带来别具一格的TED故事,分享TED演讲人背后的不凡人生和精彩思想。这一系列稿件旨在进一步推动TED演讲成为教育素材。余恺(yukind)目前在澳大利亚墨尔本大学进行社会研究项目并修读发展研究的硕士学位。

《上帝是个数学家》

by 余恺

《创世纪》说上帝用六天的时间创造了世界,但上帝在创世之前在干什么呢?

来自剑桥大学的数学教授小木头(J.E.Littlewood)曾经提出一个有趣的判断:“上帝在创世之前只是在研究纯理论的数学,然后他想做点应用应该是件有意思的事情。”(“Before Creation God did just pure mathematics. Then He thought it would be a pleasant change to do some applied.”)

按照小木头教授的理论,所有的数学家都是神学家了,难怪当年我上高数课时总有如沐天书的感觉。

+ 达尔文二世or克雷格文格一世?

克雷格文特(Craig Venter)显然是理解了小木头所说的上帝造物的数学原理。在2008年的TED上,这位被《华盛顿邮报》称为“不是这个时代最激动人心的,就是这个时代最疯狂的”科学家宣告了造物计划:我们已经把生物学数码化,现在是时候带着这些数据代码进入生物学的新时代,设计和制造生命的时代。”

克雷格文特注定是会被写入十年后课本的人物,正如那些为他铺下科学探索征程之路的伟大名字一样。在这条生命探索道路上留下过印迹的最伟大名字无疑是今年迎来200岁诞辰的查尔斯达尔文。有趣的是,达尔文是在小猎犬号(Beagle号)上踏上了他改写人类历史的环球航行,而克雷格文特则在2003年启动了巫师二号(Sorcerer II )考察计划。达尔文探索的是物种,而克雷格文特的任务则比达尔文更深入一步:探索新的基因,测定整个生态系统的序列。

但克雷格文特不想只成为“达尔文第二”。显然他不仅仅只想完成在科学界里拥有神一般地位的达尔文类似的研究,他想做的,是神的工作:在数据化的宇宙中创造新的生命。

TED.com: Craig Venter on DNA and the sea
本站文章: 《克雷格·文特:DNA和海洋(全文翻译)

“左手测序,右手造物”的克雷格文特的工作并不像传统想象的生物学:拿个订书钉钉住青蛙腿,在女生歇斯底里的尖叫声和男生血腥的暴力满足中完成的一节青蛙解剖的生物实验课。克雷格文特更像是一位数学家:他面对的是一堆以A、T、C、G代表的数据符号,这堆数据符号所组成的碱基对序列通过统计软件分析,与现有的大型基因数据库中存有的序列进行比较,克雷格文特就可以“发现”新的物种。

“发现”这个词需要重新理解:克雷格文特可能不知道这个物种长什么样子,但他解读了上帝在这个物种中留下的数据——碱基对序列。从某种意义上,克雷格文特的研究方法是“Google式的科学”(the Google way of science)。

+ 什么是Google式的科学?

在Google搜索栏中输入“siecnc”一词进行搜索,结果出来的是“science”,同时Google还会向你提问“Did you mean: science”?

为什么Google会知道我们拼错单词了?是不是Google有一个词典的数据库?

实际上Google并不知道正确拼写,也没有预置词典数据库,Google是通过所拥有的巨大的互联网网页数据库分析当输入的单词为“siecnc”的时候,有多少人会对所提的问题“你要找的是不是:science”提供肯定的回答。Google的拼写检查系统不是微软式的词典检查,而是把每一个人的回答作为数据点进行分析。

如果按照传统的科学理论模式,Google的拼写检查系统首先要做的是学习词典,把所有的单词都学会了,然后再对输入的单词进行配对,当无法配对的时候,就认为这个单词是错的。这套模式被称为“理论假设-科学验证”的模式:词典所代表的单词库是理论假设的前提、而输入的单词与原有单词库的配对过程则是科学验证或曰实验的过程。

TED.com: Sergey Brin and Larry Page on Google

但传统“理论假设-科学验证”模式的问题在于:人拼错单词的可能性几乎是一个无限的集合 ,怎样才能最准确地通过拼错的单词找到用户想要表达的正确单词呢?Google的方法是,不找最准确,而找最可能的。

另一个问题则是在于人类是处于不断创造新词汇的动态过程中,词典的容量很难跟上单词数量的增加。以英语为例,美国“全球语言监测站” 表示,第100万个英语单词于2009年6月10日诞生,该单词是:Web2.0。

该网站所使用的确认单词正式地位的方法是:“当只有全世界60%的人正式使用某个单词,而且不同群体的人能理解这个单词,此时,这个单词才会有意义。比如只有在硅谷中工作的人才理解的某个新技术术语就不能算作是一个主流单词。分析采用的计算机模型检查5千个网站、辞典、学术出版物和新闻稿件,查看单词的使用频率。一个单词必须出现2.5万次才能得到认可,成为英语中的正式一员。”

这正是词典编撰人Erin McKean在TED演讲上所说,词典编撰人的工作并不是像交通警察一般判断好词、坏词、哪些词能成为英语、哪些不能够;而是更像一位渔夫把网撒到英语的浩瀚大海里,时不时打捞起一些令人欣喜的珍奇。

TED.com: Erin McKean redefines the dictionary
本站文章:《Wordnik:重新定义词典

Google所用的纠错模式,所遵从的正是Erin McKean的“打捞式”哲学:没有理论假设,在一个庞大的数据库中,用人们搜索的关键词与搜索结果选择的关联(correlation)作为分析的依据。

运用Google式的关联模式,Google 开发了语言翻译系统,实现语言之间同样是按照关联性进行分析。Google研发主管Peter Norvig曾得意洋洋地说:“在我们进行中文翻译系统开发工作的团队中没有一个人懂中文。”不懂中文怎么翻译呢?只要懂数学就可以了,通过计算数学的分析,可以找到数据间的关联性,实现机器系统的翻译。

Google的成功正是基于这套Google式的科学实现盈利。Google向人们提供免费的搜索服务,而收入则来源于每次人们输入关键词后在结果页面右侧的广告栏。通过搜索关键词的关联分析,Google可以为广告投放商准确地定位客户人群。Google实际上是一家广告公司。

TED.com: Chris Anderson of WIRED on tech’s Long Tail

《连线》(Weird)杂志主编Chris Anderson已经迫不及待地为Google式的“关联科学模式”加冕。这位“长尾理论”与“免费模式”的缔造者撰写了题为《理论的终结:数据洪流让科学方法过时》(The End of Theory: the Data Deluge Makes the Scientific Method Obsolete)。在文章中,Chris Anderson大声宣告:

“科学方法是基于可验证的假设。大部分的模型都是在科学家头脑中想象的系统,模型会被测试,实验会证明或证否关于世界运行规律的理论模式。这是科学数百年来的运作模式。

科学家的训练让他们意识到关联并不等于因果关系,简单地分析X和Y之间的相关性并不可以推导出结论。你需要的是理解X和Y之间相关性内在的机理,一旦有了理论模型,你就可以相信数据之间的关联性。没有理论支撑的模型只是噪音。

但是面对海量的数据,这个假设、理论和验证的科学方法已经变得过时…

现在有更好的方法。在拍字节(PB,2的50次方字节,约为千万亿个字节)的时代,我们可以说:‘关联就已足够。’我们可以不再需要模型。我们可以不需要理论的前提假设就对数据进行分析。我们可以把数字仍进史上最为庞大的计算机阵列,让统计算法找出科学无法找到的规律。”

克雷格文特正是这么做的:他的团队把巫师二号帆船在全世界海域每200英里就采样一次的海水样本进行测序,然后扔进计算机数据库进行分析,各种人类从未发现过的物种就源源不断地在计算机中显现,尽管克雷格文特都不知道这些物种长什么样子。

+ 科学4.0时代

Chris Anderson无疑是个典型的互联网时代赢家:用夸张的语言和概念的新意来修饰自己的观点,因而夺得众多的眼球关注。尽管关联性模式已经并将会继续成为一种研究模式,正如美国国家科学基金会所资助的“簇探索”项目(Cluster Exploratory),由Google、IBM和六所大学共同进行,建造超巨型的计算机簇群进行脑科学、神经科学和生命科学的研究。Chris Anderson认为如此巨大的计算能力将会提供关联性模式进一步超越传统“假设-验证”科学模式的机会。

但Chris Anderson关于“理论终结(End of Theory)”更像是一句广告口号,这个颇像尼采“上帝死了”或福山“历史的终结”的夸张而武断的表达十分适合成为杂志或报纸的头条标题。“关联性模式”的发展并不一定代表现在科学模式的终结,而更多是一种多元模式并存的时代,一个不同与前三次科技革命特征的第四次科技革命的时代:科学4.0时代。

正如法国哲人Lyotard 所说:“宏大叙事的时代而已终结。”单一模式已被多元模式取代:关联性模式与“假设-验证”模式并非你死我活的关系;在科学4.0时代,他们是一种共存的关系。

看看TED上的研究,亨利·马克莱姆(Henry Markram)在瑞士洛桑联邦理工学院(EPFL)所领导的“蓝脑计划”正是基于理论模型进行神经元的模拟以理解大脑新皮层的运作机理,马克莱姆的做法,是构建一个大脑模型,然后进行各种各样的实验验证。正是传统的“假设-验证”科学模式。

TED.com: Henry Markram builds a brain in a supercomputer

又如鬼才内森·梅尔沃德(Nathan Myhrvold)在TED演示的用传热模型做出美味的食物所依据正是分子美食学与传热学的理论。当然,我曾经看过一个关于微波炉的研究计划,通过连接互联网的微波炉,可以通过与你要煮食的食物相关的搜索信息,自动确定大多数人采用的微波功率与时间的加热条件组合,就是最佳的烹饪方案了。或许关联性模型的好处是,你不需要像梅尔沃德般有才,也不需要计算出一条与实测曲线拟合度为1.00的完美理论曲线,也可以用微波炉做一顿天下最美味的食物。

关联模式本来并非什么新事物。生命科学就常用梅尔沃德所用的相关性分析研究两个现象之间的关联性;社会科学上,马克斯韦伯就曾经用关联模式探讨经路德与加尔文改革后的新教伦理与资本主义诞生的关系。在TED上演讲过的Steve Levitt在他的著作《魔鬼经济学》中用关联性分析解释纽约犯罪率在上世纪末突然大幅度下降与堕胎法案通过的关系;而同样是TED Talker的格拉德威尔(Malcolm Gladwell)则在成名作《引爆流行》中用“破窗理论”解释过同一事件。按照“假设-验证”的科学模式,Gladwell和Levitt必定有一人是错的;但按照关联模式理解,两者可以共存:都与纽约犯罪率下降存在相关性。

关联模式的真正起源是18世纪的英国数学家贝叶斯所提出的以其名字命名的定理。简单来说,贝叶斯定理是指某件事情发生的概率大致可以由它过去发生的频率近似地估计出来。Google的计算模式就是基于贝叶斯定理。

按照贝叶斯定理发展的贝叶斯技术的吸引力在于简单性。预测完全取决于收集到的数据–获得的数据越多,结果就越好。另一个优点在于贝叶斯模型能够自我纠正,也就是说数据变化了,结果也就跟着变化。换言之,Chris Anderson所高呼的全新的关联科学模式,实际上也是一种“假设-验证”模式,理论前提正是贝叶斯定理;只不过这个前提是亚里士多德三段论中的大前提;而非一般科学研究中特点假设的小前提。

TED.com: Tim Berners-Lee on the next Web

互联网发明者蒂姆·伯纳斯-李在TED上谈到“关联数据”的概念,同时强调了互联网开放的重要性。而正是因为互联网时代的到来,才真正让关联模式变得现实:因为样本数量足够大,关联数据才足够好。

关联数据模式基于强大的计算能力。正如Peter Denning在他的IT人专栏中提及的:“计算是一门自然科学。” 计算不再是一门纯理论的学科,而是一门研究自然的学科。通过强大的计算能力与庞大的数据收集,可以挖掘出生命科学、物理科学与社会科学中存在的深层数据结构。

这些数据结构正是我们了解世界和自身所需要的信息。或许这解释了为什么科学巨匠牛顿在写下了《自然哲学的数学原理》这部划时代的科学巨著后,却开始信仰上帝了。因为自然万物深层结构所显现的数学规律性似乎可以表明:上帝是个数学家。

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罗伯特·朗:折纸艺术中的数学奥秘

孩童时代,很多人都玩过折纸,可是,您是否想象过,折纸也能成为一门艺术,荣登大雅之堂,甚至还能以数学的方式来解释个中奥妙?

罗伯特·朗(Robert Lang)是一位土生土长的美国人,出于对折纸的热爱,投入几十年时间研究折纸的数学结构,结果发现,大凡折纸,不管最后得出来的形状多么复杂,都可以通过数学模型进行建构,然后直接按建构好的模型去折,就能轻松的折出漂亮的昆虫、人物以及其他各种造型来了。对折纸感兴趣的朋友千万不要错过他的 TED 演讲喔:

关于罗伯特·朗和折纸艺术的网站链接:

罗伯特·朗个人主页

《纽约客》杂志为罗伯特·朗作的一个特写

origami.com

顺便也推荐一下在Flickr中看到的一个折纸相册

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非洲大陆的分形数学

演讲人英文简介
演讲视频链接
演讲汉译译言链接

我想先讲一个数学家的故事。他叫康托(Georg Cantor). 康托某一天决定画一条直线,将其三等分,然后擦掉中间的一段,对于剩下来的两段,亦作同样的处理。如此反复:开始是1段,而后2段、4段、8段……

假如康托将这样的操作无限次的进行下去的话(数学上是可能的),他将得到无限个线段,每一段上面也会有无限个点。于是,康托认为他找到了一个集合,其元素的数目比无限还大。这使得他很恼火。他于是住进了一家疗养院,后来又搬了出来。出来的时候,他深信,他是被上帝委派到世上发现超限集理论 (transfinite set theory)的,他认为最大的无限集合是上帝。他可是一个信教的人。可谓数学布道师。

另一位数学家也做了同类的事情。一位叫Von Koch的瑞典数学家不是减少线段的数量,他选择增加线段之数量。并且由此得出一条美丽的曲线。事实上我们不一定非得以这一形状开始不可,任何的形状都是可以的。好,我现在改变一下初始的形状,通过多次演变后,我们得出一个看上去完全不一样的结构。这些图案都有一种特性,即自我重复,部分跟整体是相似的,不过是重复的次数不同而已。

数学家认为这是怪事,因为如果你缩短尺子的长度,你将发现曲线变的越来越长;无限迭代下去,曲线将变得无穷长。这显然不合事理。因而他们仅仅把这样的曲线放到数学课本的背后,还说这些东西是“病态的曲线”,没有讨论价值。这样的看法在数学界延续了百年。

直到1977年,法国数学界Benoit Mandelbrot通过电脑制图发现,要是在电脑上重复绘制此类的形状(他将其命名为“分形”),可以得出自然的形状,比如人体的肺叶、样槐树、蕨类植物,都是些很美丽的大自然的图案。还有,拿出你的手掌,观察一下拇指与食指相会的地方,你会看到皱纹,皱纹里面套有皱纹,皱纹的皱纹里头还有皱纹,对不对?你的身体也是充满分形的。刚才提到的那班说分形是妖术的数学家不也同样有因分形而成的肺腑吗?这倒是挺讽刺的。再来看一些自然形成的图案重叠。大家看这些线条,我们现在用完整的图案去覆盖它,再来一次,第三次,……

大自然自身具有这种自我重复的结构。它懂得利用这些自我组织(self-organizing)的系统。1980年代的时候,我有一次看到一张空中照下来 的一个非洲乡村的照片,就发现有分形。我感到很惊讶,并且渴望解开这个谜底。于是在Fulbright奖学金项目的资助下,我到非洲游历一年,询问当地的 居民为何要把村子建成分形的样子。那真是一段愉快的旅途。

于是我去了非洲,还准备了分形的模型,希望实地查看一番。到了那里,我用半吊子的法语跟当地人说,我是一位数学家,我想登上你们的屋顶。当地人很爽快,带我来到屋顶,跟我讲起分形的趣事。他说,“我们的屋子就是这样一个大长方形围着一个小的长方形,小的长方形里又有更小的长方形,这个我们都懂得。”事实也正是如此。而当地的神阁就在最小的长方形里,每往里进去一圈,就要加倍的有礼。可以说,他们的社会等级就通过房屋的特殊几何结构体现出来了。这是人为的,不像白蚁洞分形那样纯属自然。

这是位于津巴布韦南部的一个村庄,整个村子直径为400米。这是一个巨大的圆圈,每一个小的圆圈也代表着一户人家,而越是往后,家庭的规模就越大,族长的 家在这里(图片上右侧的小圈),他的家眷就住在这个圈上面。现在我们来看一下它的分形模型是怎样的。这是一户人家以及他们的祭坛,这是一个家族围成的圈,这是一个村子围成的圈,这是祭坛的位置。族长住这里,他的家眷住这里。这是另一个村子。很小。你可能会想这么小怎么能住人呢?事实上,这里住的是村子的神灵,就是他们的祖先,这些神灵们也有属于自己的小村落。这和康托说的循环不断出现一样。

这是Mondara山,位于喀麦隆与尼日利亚的边界上。我一开始是看到一位法国建筑师的建筑草图,当时感叹,这是多么美的一个分形!于是我尝试作出一个元 分形(seed shape)的模型,通过重复的叠加变化,即可得出这个图案。好,现在是大家看到的这个简单的图案,我们经过第一次递归变化、第二次、第三次、第四次。当我作出这个模拟之后,我发现整个村子其实就是按照这个方式从一小块展开为一个分形图案的。而图上看到的那条曲线就是村子里唯一的一幢方形建筑。于是我感到好奇,到了那里之后,我问当地人,“你们能带我去那方形建筑吗?”他们说,”可以带你去,但你是进不了里面的。那是我们的神坛,我们每年都在那举行祭奠的仪式,为我们下一年的丰收祈祷。“那时我意识到田野上的庄稼也有跟村里的房子一样的几何形状。有时候这种分形还会在最细小的物件上出现。

这是位于马里的一个Nankani人的村落。走到他们的屋子里,就能看到那放在炉子上的锅也是一个分形。这是呈现分形结构的葫芦,刚才Issa Diabate也给大家看过。顶端上那个最小的葫芦里头就放着女人的灵魂。女人一旦死去,他们就举行仪式,砸碎整一个葫芦架,女人的灵魂就飘逸到永恒之 境。我们再次看到了无限的重要意义。

此时你会问:这样的建筑模型在任何的原住民村落都有吗?我最初也这么想:“只要是没有建立国家社会的原住民村落,一定会有这样的由下而上的建筑风格。”可是后来我发现那并非事实。

我开始收集北美以及南太平洋的建筑图案(航拍图),只有来自非洲的是呈现分形的结构。事实上,不同的社会有不同的几何建筑规划方案,在北美,人们喜欢圆形 对称、四重对称(fourfold symmetry),你可以在陶罐和篮子上看出来……这是Anasazi遗迹的航拍图,图上看出大局上呈现圆形,而局部则呈现方形。这不是像分形那样的同一形状在不同的大小范围内获得复制。

此外,你会说,“非洲文化的多样性你怎么给忽略了?”我有三个理由说你误会了。首先,我赞同Mudimbe写的《非洲的发明》一书中的观点,即非洲是殖民 主义以及抵抗运动的人工产物。第二,非洲大陆上分形的普遍存在并不意味着文化的同一性,这样的建筑形式也不是写在他们的DNA里面的。最后,分形只是自我 类似,而不会出现不同的分形之间的相似,事实上不同的分形会有不同的用途。这是非洲人民共有的一种技术。

最后,你会说,“那该不会是一种直觉吧?不像是什么数学知识啊!非洲人不太可能应用分形几何的知识吧?在1970年代以前这些东西还没有发明出来呢。”确实,有些分形建筑的确是直觉。我漫步于达喀尔(Dakar)的街头,问那里的人为何要建分形的建筑,是不是依循某种逻辑?他们说,“唉,我们就是那么建房子的嘛!这样造出来的房子就是漂亮。”可是也有例外的情况。在有的地方,我们的确可以找到一种建房子的数学算法,并且是很复杂的算法。所以,从 Manghetu雕塑上,你可以看到这种循环的几何,在埃塞俄比亚的十字架上,也能看到此类自我重复的图形。

在安哥拉,Chokwe人会在沙地里画出美丽的线条,德国数学家欧拉称之为graph,我们现在管那作欧拉图——你的笔永远不能离开画布,也不能重复描绘同样的一条线。但是安哥拉人却以一种循环的方式来创作,并且这样的知识通过家族的长幼相传得以继承。最年幼的学这个,年龄稍大一点的学习这个,再大一点的就学这个。而每递进一级,你就学到更深的关于神话的知识,一层比一层深入。

最后,在非洲大陆的大片地方,你还可看到一种棋盘游戏,加纳人称之为Owari,在东岸,人们称之为Mancala,在肯尼亚则叫作Mancala,其他地方的人叫那作Sogo。这样的棋盘游戏也有一个不断自我循环的结构,加纳人懂得这点知识,并且会在游戏中加以应用,这一点很重要。

这里还有一个很漂亮的分形图案。只要是走到Sahel,你就会看到这种御风的屏障,自然,在别的地方,人们见到的都是笛卡尔构型的,并且都是线性的。而在非洲,你可以找到非线性的模型。于是我在马里找到一位制造这东西的小伙子,问他,“你们怎么专门做这样的分形形状的屏障啊?就因为别人都不做吗?“他的回答很有意思,他说,”要是我生活在森林里,只需准备长条的秸秆就行了,那样做得快,也不需要太多的秸秆。可以风和尘土会很容易的吹进来。村子里的房子顶端的秸秆的确可以抵御风尘,可是这得花费大量的秸秆和大量的时间去做。在村子里,假如你住得越高,风就会越猛。“这就跟成本收益分析有点类似。我于是测量了秸秆的长度,将其绘制于对数图(log-log plot)上,计算出其增长指数(这里指风速与秸秆高度之的关系),发现这居然和我们在工程手册上见到的数字完全吻合。所以说,非洲人是懂得应用这样的技术的。

我们在非洲发现的从算法上来说最复杂的分形不是见于大型几何形状的建筑,而是在Bamana的沙祭。这样的沙祭事实上在非洲大陆都能见到。不管在东岸还是西岸,都能见到这样的沙祭遗迹,并且上面的标记都保存完好,每一个标记都有四个字节,当地人在沙滩上随意的画几条线,然后数一数一共有多少线条,假如是奇数,就放一根木棍,假如是偶数,就放两根木棍。他们这种占卜的过程是如此快,我还为来得及看懂,他们的占卜已经完成,因为这样的动作他们只会重复4次。至于其余的12个标记又是哪里来的,我就一无所知了。对此他们守口如瓶。后来我说,“那好,我给你钱,你把秘密告诉我。我可以每天都给你送上金钱。”可他们说,那不是钱的问题,那是宗教问题。

最后,我实在是气急败坏,于是跟他们谈起康托,还讲到我来非洲的原因。当他们第一次看到康托的集合时,感到非常兴奋,其中一位表示愿意帮我解开这样的谜 团。于是他带我参加Bamana的祭祀仪式,开始时他在那摇头摆脑,而我仅仅对于数学的东西感兴趣。但是,我也得像他那样,在床的隔壁放上科拉螺母 (kola nut),并且是要埋在沙子里,此外还要向七位麻风病人纳贡七个硬币。最后,他终于说出了里头的秘密。那事实上是基于定命的一个随机的数字产生器。你手上有一个4字节的标记,就和另一个并排放在一起。因此,偶数加奇数得奇数,奇数加偶数得奇数。偶数加偶数得偶数。奇数加奇数亦得偶数。其实这就是以2为模的加法,就跟我们用的计算机里头发生的奇偶位检查一样。然后你取出标签,再把它们放回去,就可得到一个自我复制的标志,他们实际上运用的是确定性混沌的原理 (deterministic chaos)。同时由于这是一种二进制的数码,你还可以直接应用到硬件之上——运用在非洲的工程学院里头,这将会是一种多么美妙的教学工具!

而我发现最有趣的还是其历史。12世纪的时候,Hugo Santalia把这一伊斯兰神秘主义的习俗带回西班牙,后来在炼金术师的团体里开始流行,他们用这样的方法来占卜。这是1390年上呈给里查二世的一副 占卜用的图画。德国数学家莱布尼兹在他的题为De Combinatoria的论文里就讲到风水的问题。他的文章写道,“与其用一和二,我们倒不如用一和零,那样的话,我们就可以按2的数幂来计算。”岂不是吗?1和0,恰恰是能够组成二进制的两个字节。布尔(George Boole)将莱布尼兹的二进制加以发展,就产生了布尔代数,而冯·诺伊曼基于布尔代数则发明了数字计算机。所以我们今天见到的PDA、手提电脑以至世界上的每一条数字光缆,皆源自非洲。我听Brian Eno说非洲没有足够多的计算机,我想,也许是Brian拥有的关于非洲的知识还不够吧。

最后我想简单的讲一下这些东西的应用。只要你登陆我们的网站,就可以亲身体验所有这些美妙的分形艺术。国家科学基金会(National Science Foundation)旗下的“拓展计算机应用”项目最近给予我们一项资助,让我们开发出一种可编程的分形工具。我们估计,三年后,人人都有可能登陆我们的网站,创造出自己的分形作品。我们在北美的推广主要针对非洲裔美国学生,还有美洲土著和拉丁裔人口。通过对比,我们发现,使用这一软件的孩子比没有使用这一软件的孩子数学上进步更快。我们的推广是成功的,借此我们告诉孩子他们有这样的传统,而不仅仅是通常的唱歌跳舞。我们在加纳也开展试验项目,还只是小 规模的试验,要等待当地孩子的反应。我们对这一项目的未来充满信心。

我们还与设计界的朋友合作。图片上那个是我的同事Kelly,他是一位设计师,他给分形建筑分布较广的村落设计的邮政服务就带有分形的特征。哥伦比亚大学 的Bernard Tschumi为一间非洲艺术主题博物馆作的设计亦采用了分形的艺术。俄亥俄州立大学的David Hughes还写过一篇非洲建筑引论,里头就谈到分形。

最后,我想指出,这样的分形的思想其实是存在于我们的大脑中的,也存在于Google的搜索引擎当中。事实上,Google能取得那么大的成就,是因为他们懂得互联网是一个自我组织的存在。此外,在可持续研究、企业成长、民主的伦理力量等方面都能觅得分形的足迹。同样,在一些令人不快的事情中,也能见到分形的踪影。艾滋病蔓延得那么快,是因为它的传播遵循的是分形的规律。而资本主义呢?它不也给我们带来了许多不好的东西吗?不要忘记连资本主义本身也是自我管理的。所以我们要重新看待传统的非洲人处理分形的方法,他们懂得很复杂的算法,他们那样做不会给自己或别人带来坏的结果。因此,假如我们想改善我们做事情的方式,只要到非洲来就能找到最好的答案。

谢谢大家。